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进一步扩展这个例子，我们可以证明每个在一个至少两维的复有限维向量空间的每个线性算子有一个非平凡的不变子空间：的特征值是的特征多项式的零点，而该多项式根据代数基本定理总是有零点的；然后我们可以取对应于该特征值的一个特征向量张成的空间。这个证明在实数域上不成立，因为不是所有实多项式都有一个实根。

在有限维向量空间上每个线性变换在选取了一个的基以后都可以用一个矩阵来表达。假设现在是一个不变子空间。取的一个基，并扩充成为的一个基。则对应于基的矩阵将有如下形式：

其中左上角块表达了中的向量的像还在本身中因此是的基向量的线性组合这一事实。

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紫微垣，三垣之一，按《步天歌》，紫微垣为三垣的中垣，宋史天文志：「紫微垣在北斗北，左右环列，翊卫之象也。」。北天中央位置，为中宫，以北极为中枢。又称紫微宫。外有十五星，分为左垣与右垣两列。

左垣八星包括左枢、上宰、少宰、上弼、少弼、上卫、少卫、少丞。右垣七星包括右枢、少尉、上辅、少辅、上卫、少卫、上丞。

左、右垣内的紫微宫是上帝居住的地方，也是皇帝内院，除了皇帝之外，皇后、太子、宫女都在此居住。

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* 文库版（2013年5月－2013年7月，角川文库，全3卷）

* 《魔法之子》（2013年10月，富士见Fantasia文库，全1卷）

* 《孤独公主与神灯恶魔》（王女コクランと愿いの悪魔）（2014年9月－2015年6月，富士见L文库，全2卷）

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